(FUVEST 2018) Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os corredores cruzam - se duas vezes, a primeira vez a 800 metros de A e a segunda vez a 500 metros de B. O comprimento da pista, em metros, é (A) 1.000. (B) 1.300. (C) 1.600. (D) 1.900. (E) 2.100 Solução:    questão muito interessante do Vestibular FUVEST 2018.  Nela, vamos usar a fórmula da velocidade média.   VM =  ΔS / ΔT ΔS - variação de espaço  ΔT - variação de tempo As velocidades dos atletas, são constantes, ou seja, durante todo o percurso cada um deles manterá sempre a sua mesma velocidade.  Vamos nomear V1 a velocidade do corredor 1 (aquele que parte inicialmente de A) e V2 a velocidade do corredor 2 (aquele que parte inicialmente de B). Repare na figura 1 a configuração do primeiro en...

(FUVEST 2018) Sejam f: R → R e g: R +  → R definidas por f(x) = (1/2).5 x   e g(x) = log 10 x , respectivamente.    O gráfico da função composta g o f é: Solução: questão interessante sobre funções onde abordaremos conceitos de função exponencial, função logarítmica, função composta e até função do primeiro grau (equação da reta). Organizando  f(x) = (1/2).5 x   = 2 -1 .5 x Agora, vamos calcular g(f(x)) g(f(x)) = log 10  (2 -1 . 5 x ) g(f(x)) = log 10  (2 -1 ) + log 10  (5 x ) g(f(x)) = - log 10  2 + x . log 10  5 Repare que nossa g(f(x)) é uma equação de reta do tipo y = a.x+b; sendo: a = log 10  5 b = - log 10  2 Um detalhe é que log 10  2 vale aproximadamente 0,3 . Sabemos também que log 10  5 = log 10  10/2 = log 10  10 - log 10  2 ≅ 1-0,3 ≅ 0,7. g(f(x)) ≅ 0,7 x - 0,3  [equação aproximada de g(f(x))] Repare que "a" é um valor positivo, logo, a reta deve ser crescente. Além dis...

( FUVEST 2018 ) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que: I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;  II. 16 não obtiveram nota mínima em português;  III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;  IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;  V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;  VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e  VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.  A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi  (A) 44. (B) 46. (C) 47. (D) 48. (E) 49 Solução: questão muito interessante da FUVEST 2018 sobre teoria dos conjuntos, vamos resolvê-la elaborando um Diagrama de Venn.  Vamos iniciar inserindo as informações: "20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas" e o "item VII". Agora vamos inserir...

(FUVEST 2018) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?  (A) 1.450,20 (B) 1.480,20 (C) 1.485,20 (D) 1.495,20 (E) 1.490,2 Solução:  questão interessante de matemática financeira do vestibular FUVEST 2018. Repare que o dinheiro que Maria possui é dado por:  500 + 500/(1,01)¹ + 500/(1,01)² 500 + 500/1,01 + 500/1,0201 500 + 495,05 + 490,15 R$ 1.485,20 [Alternativa correta é a letra C] Aproveite e continue praticando com uma  Lista de Exercícios Resolvidos sobre Juros Com...

(FUVEST 2018) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela.  II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser 1/2.  III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser 1/2.  A quantidade de bolas brancas na urna é  (A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 14. (E) 16. Solução:  questão muito interessante de probabilidade do vestibular FUVEST 2018. Sejam: A = quantidade de bolas amarelas B = quantidade de bolas brancas V = quantidade de bolas vermelhas X = Quantidade de bolas na urna X = A + B + V  Da afirmação I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela.  Logo, V = 2A  ou A = V/2 Re-escrevendo X em função de V e B X = V/2 + B + V...

(Fuvest 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência. Sendo x e y  as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y é: Solução:  questão muito interessante de geometria do vestibular FUVEST 2018, onde utilizaremos a relação dos ângulos inscritos em uma circunferência. Imagem de:  http://www.geom.uiuc.edu/~dwiggins/conj44.html   A área total (AT) do círculo é dada por π · R², como R=1, então AT = π.  Para encontrarmos a área da região cinza, precisamos diminuir AT dos dois triângulos delimitados pelos ângulos x e y.  Vamos calcular apenas para o ângulo x, e analogamente, o valor será o mesmo para y. Área do triângulo delimitado por x, é dada pela soma dos triângulos de ângulos (2x) e (180º-2x) A = (1/2)·1·1·sen(2x) + (1/2)·1·1·sen(180º - 2x) A = (1/2)·sen(2x) + (1/2)·sen(2x) A = sen(2x) Analogamente, o triângulo com o ...

(UNICAMP 2018)  Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então a) |𝑧| = 1/√3.  b) |𝑧| = 1/√5.  c) |𝑧| = √3.  d) |𝑧| = √5. Solução: quando um número complexo z = a+bi é raiz de um polinômio, então seu conjugado z = a-bi também é.    Logo, as raízes da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 são: z1 = a +bi z2 = a - bi Pelas Relações de Girard , temos para a equação do segundo grau do tipo a.x² + b.x + c = 0 e suas raízes x1 e x2, as seguintes relações de soma e produto: x1+x2 = -b/a x1.x2 = c/a A equação dada no enunciado é: 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.  É preciso ter cuidado para não confundir os coeficientes ao aplicar as Relações de Girard: x1+x2 = -b/1 x1.x2 = a/1 Vamos trocar x1 por z1 e x2 por z2. (a +bi) + (a - bi) = -b (a +bi) . (a - bi) = a 2a = -b a² - b².i² = a b = -2a        (I) a² + b² = a   (II)  Aplicando I em II a² + (...

(UNICAMP 2018) Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), obtêm-se quociente e resto iguais a 𝑥² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que a) o grau de 𝑝(𝑥) é menor que 5.  b) o grau de 𝑞(𝑥) é menor que 3. c) 𝑝(𝑥) tem raízes complexas.  d) 𝑞(𝑥) tem raízes reais. Solução: vamos escrever o polinômio p(x) em função de q(x) e de x²+1.  Repare na figura a seguir um exemplo da divisão de 21 pelo número 4 e a relação entre dividendo, divisor, quociente e resto. Note que p(x) = (x²+1) . (q(x) + 1) Repare que (x²+1) possui raízes imaginárias (complexas), vamos calculá-las: x²+1 = 0 x² = -1 x = ± √(-1)  ...  [i²=-1] x = ± √i² x = ±  i  (raízes imaginárias) Ao atribuírmos os valores x = i e x = -i, em p(x), iremos zerar o componente (x²+1).  Fazendo isso, também zeramos o polinômio. Logo,  p(+i) = 0  e p(-i) = 0 .  Finalmente,  𝑝(𝑥) tem raízes complexas. [alternati...

(UNICAMP 2018) No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se a) 𝑟 > 2.   b) 𝑟 > √5.   c) 𝑟 > 3.   d) 𝑟 > √10 Solução: nesta questão de geometria analítica, precisamos ter em mente que para a equação da circunferência interceptar a reta em dois pontos distintos, ao igualarmos as equações, precisamos ter Δ>0.  Para que haja interceptação em um único ponto Δ = 0. E, para que não haja cruzamento entre elas, então Δ<0. Estamos interessados no caso onde Δ>0, ou seja, a reta s intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos. A equação de C é dada por:  (x - xC)² + (y - yC)² = R² (x - 0)² + (y - 0)² = R² x²  + y² = R² E a equação da reta é 𝑥 = 10 - 3y   (aplicando x na equação de C) (10-3y)²  + y² = R² 100 - 60y + 9y² + y² - R²...

(UNICAMP 2018) Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y É correto afirmar que esse sistema  a) tem solução para todo 𝑘.  b) não tem solução única para nenhum 𝑘.  c) não tem solução se 𝑘 = 1.  d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1. Solução:  essa é uma questão de discussão de sistemas lineares, onde podemos resolver por meio da análise dos determinantes. Vamos calcular os determinantes das matrizes do sistema linear. Para que o sistema seja possível e determinado (admitindo uma única solução), então Δ ≠ 0 . -k+1 ≠ 0 k ≠ 1 Para que o sistema seja possível e indeterminado (admitindo infinitas soluções), então Δ = Δ x = Δ y = 0. -k+1 = 0 k = 1    Perceba que quando k=1, automaticamente Δx = 0 e Δy = 0. Conclusão:  se  k ≠ 1, então é um Sistema Possível e Determinado e se k = 1, então é um Sistema Possível e Indeterminado.  Logo, a alternativa correta é a letra A.   Nesta ...

(UNICAMP 2018) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais tais que a matriz satisfaz a equação 𝐴² = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐼, em que 𝐼 é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto 𝑎𝑏 é igual a a) −2. b) −1. c) 1. d) 2. Solução:  questão sobre operações com matrizes do Vestibular UNICAMP 2018 onde faremos operações de produto e soma de matrizes. Vamos iniciar o desenvolvimento de nossa equação matricial,  calculando a matriz A² que é a mesma coisa que calcular o produto A x A. Agora, vamos calcular a.A + b.I Finalmente,  basta igualar  𝐴² = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐼 para encontrarmos os valores de "a" e "b". 1 = a + b 0 = 0 4 = 2a 1 = a +b Temos que a = 2 e b = -1.  Finalmente o produto, a.b = 2.(-1) = -2. Alternativa correta é a letra A. Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Matrizes e Determinantes - Resolvidos com Comentários . Um forte abraço e bons estudos.

(UNICAMP 2018) Seja 𝑥 um número real tal que sen 𝑥 + cos 𝑥 = 0,2. Logo, | sen 𝑥 − cos 𝑥| é igual a a)  0,5  b)  0,8  c)  1,1   d) 1,4 Solução:  questão muito interessante de identidades trigonométricas que envolve também propriedades de funções modulares. sen 𝑥 + cos 𝑥 = 0,2 (sen 𝑥 + cos 𝑥)² = (0,2)² sen²x + 2.senx.cosx + cos²x = 0,04 sen²x + cos²x +  2.senx.cosx  = 0,04 1 +  2.senx.cosx  = 0,04  2.senx.cosx  = 0,04 -1  2.senx.cosx  = -0,96 Propriedade da função modular: |x²|  = |x|² = (x)² Analogamente para | sen 𝑥 − cos 𝑥|  | sen 𝑥 − cos 𝑥| ² = ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² Desenvolvendo o produto notável:  ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = sen²x - 2.senx.cosx + cos²x  ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = sen²x + cos²x - 2.senx.cosx   ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = 1 - (-0,96)  ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = 1 + 0,96 = 1,96  | sen 𝑥 − cos 𝑥 |  =   1,4 Alternativa correta é ...

(UNICAMP 2018) Considere que o quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 𝑐𝑚, e que 𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐸. Consequentemente, a distância entre os pontos 𝐷 e 𝐸 será igual a Solução: vamos resolver essa questão de geometria por meio da aplicação de um Teorema de Pitágoras.  Repare que AC é a diagonal do quadrado ABCD e que vale √2, calculada pelo próprio Teorema de Pitágoras.  Como o ponto C é o ponto médio do segmento AE, então isto quer dizer que CE é uma outra diagonal, de um outro quadrado também de lado 1, totalmente semelhante ao quadrado ABCD, repare na imagem a seguir: Aplicando o Teorema de Pitágoras, no triâgulo DEE´ teremos: x² = 2² + 1² x² = 5 x = √5 cm  [ alternativa correta é a letra C] Neste momento, é possível visualizar mais outros dois métodos que podem ser utilizados para resolver essa questão e chegar no DE = √5.  Pode ser usada a lei dos cossenos ou também, aplicar a distância entre o...

(UNICAMP 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão 𝑎/𝑏 é igual a a) √3+ 1.   b) √2+ 1.   c) √3.   d) √2. Solução: questão muito interessante de geometria plana do Vestibular UNICAMP 2018, onde teremos que trabalhar a área de um setor circular. A fórmula da área de um setor circular é dada por A = θ/2 . Raio²   Com θ em radianos. Vamos desenhar na figura do enunciado alguns elementos importantes para continuarmos a resolução: Repare que a Área Total (AT) é duas vezes a área A.  Sendo assim: AT = θ/2 . (a+b)²    A =  θ/2 . (a)² Como AT = 2 . [A], então: θ/2 . (a+b)²   =  2.  [θ/2 . (a)²] (a+b)²   =  2. (a)² (a+b)²   =  (√2)². (a)² (a+b)²   =  [(√2). a]² Como a e b são positivos: a+b = (√2). a b = (√2). a - a b = a [ (√2) -1] O comando da questão busca encontrar a razão 𝑎/𝑏 que é igual a:   ...

(UNICAMP 2018) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3. O gráfico de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]² é dado por Solução: questão muito interessante do Vestibular UNICAMP 2018 sobre análise de gráficos de função do primeiro e segundo grau.  Repare que o gráfico dado inicialmente representa duas equações de reta distintas, uma reta crescente no intervalo que vai de 0<x<1 e outra reta decrescente no intervalo que vai de 1<x<3 . Caso tenha dificuldade em como obter essas equações de reta por meio de um gráfico dado, compartilho essa recomendação de exercício:  como obter a equação da reta que passa por dois pontos - um exercício resolvido. Tendo definido a nossa f(x), temos que agora encontrar a 𝑦 = [𝑓(𝑥)]²,  f(x)=x [𝑓(𝑥)]² = [x]²              [𝑓(𝑥)]² = x²           f(x) = -x+2 [𝑓(𝑥)]² = [-x+2]² [𝑓(𝑥)]² = [-x+2][-x+2] [𝑓(𝑥)]² = x² - 4x + 4      Já pod...

(UNICAMP 2018) Seja a função ℎ(𝑥) definida para todo número real 𝑥 por Então, ℎ(ℎ(ℎ(0))) é igual a  a) 0.  b) 2. c) 4. d) 8. Solução:  questão de função composta, onde teremos que trabalhar também com equações exponenciais.   Vamos iniciar nosso problema que é calcular:  ℎ(ℎ(ℎ(0))) resolvendo o mais interno h(0): Como x = 0 , temos que selecionar a h(x) = 2 x+1 h(0) = 2 0+1 = 2¹ = 2 Atualizando: ℎ(ℎ( ℎ(0) )) = ℎ(ℎ(2))  resolvendo h(2) Como x = 2 , temos que selecionar a h(x) = √(x-1) h(2) = √(2-1) = √1 = 1 Atualizando:  ℎ( ℎ(2) )  =  ℎ(1) resolvendo h(1) Como x = 1 , temos que selecionar a h(x) = 2 x+1 h(1) = 2 1+1  = 2² = 4. [Alternativa correta é a letra C] Aproveite e continue praticando com uma Lista de Equação Exponencial - Exercícios Resolvidos.    Ou também, uma Lista de Exercícios Resolvidos de Função Composta. Um forte abraço e bons estudos.

(UNICAMP 2018) Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a a) 1/2. b) 5/9. c) 2/3. d) 3/5.  Solução:  questão muito interessante sobre probabilidade do Vestibular UNICAMP 2018. Sabemos que ao lançarmos uma moeda normal, os resultados podem ser {CARA, COROA} ambos com a mesma probabilidade. Da fórmula básica da probabilidade (P=E/U) E = qtde de elementos do conjunto Evento Esperado  U = qtde de elementos do conjunto Universo  P(CARA) = 1/2 P(COROA) = 1/2 Mas a questão não aborda uma moeda normal, e sim uma moeda tendenciosa, onde a probabilidade de sair CARA é o dobro da probabilidade de sair COROA. P(CARA) = 2 x P(COROA) P(COROA) = X P(CARA) = 2X Sabemos que P(COROA) + P(CARA) = 1 X + 2X = 1 3X = 1 X = 1/3 P(CARA) = 2/3 P(COROA) = 1/3 Então, são estas probabilidades que devemos trabalhar. Curiosidade: é como s...

(UNICAMP 2018) Dois anos atrás certo carro valia 𝑅$ 50.000,00 e atualmente vale 𝑅$ 32.000,00. Supondo que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a a) 𝑅$ 25.600,00.    b) 𝑅$ 24.400,00.   c) 𝑅$ 23.000,00.   d) 𝑅$ 18.000,00.  Solução: questão interessante de matemática financeira e equação exponencial, onde podemos trabalhar com a fórmula a seguir: VF = Vi . ( 1 + taxa ) tempo Onde:  VF = Valor Futuro Vi = Valor inicial ** Esta equação exponencial tem o mesmo formato da fórmula dos Juros Compostos. 32.000,00 = 50.000,00 (1+taxa)² Como houve um decrescimento, chegaremos a uma taxa negativa. 32/50 = (1+taxa)² (1+taxa)² = 0,64 1+ taxa = 0,80 taxa = 0,80 - 1,00 taxa = -0,20 ou - 20% ao ano. Agora basta fazer o último cálculo usando a fórmula para encontrar: " daqui a um ano o valor do carro será igual a [ sabendo que agora o valor decai 20% anualmente ]" VF = Vi . ( 1 + taxa ) temp...

(UNICAMP 2018) Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números ímpares é igual a  a) 0 ou 1. b) 1 ou 2. c) 2 ou 3. d) 1 ou 3. Solução:  questão bem tranquila sobre conjuntos dos números inteiros.  Só há dois casos para a soma de 3 números inteiros ser ímpar: quando todos os 3 números são ímpares ou quando apenas 1 deles for ímpar.  Vejamos na prática cada caso: Se os três números forem, ímpares, por exemplo, 1 + 1 + 1 = 3 teremos um resultado ímpar. Se dois números forem ímpares, por exemplo,      1 + 1 + 2 = 4 teremos um resultado par. Se apenas um número for ímpar, por exemplo,     1 + 2 + 2 = 5 teremos um resultado ímpar. Se nenhum número for ímpar, por exemplo,         2 + 2 + 2 = 6 teremos um resultado par. Alternativa correta é a letra D. Aproveite e continue praticando com Exercícios de Teoria dos Conjuntos e Diagrama de Venn. Um fo...

(UNICAMP 2019) Considere um paralelepípedo retângulo, cujas arestas têm comprimento 6 𝑐𝑚, 8 𝑐𝑚 e 10 𝑐𝑚, e um triângulo cujos vértices são os centros (intersecção das diagonais) de três faces de dimensões distintas, como ilustra a figura a seguir. O perímetro 𝑃 desse triângulo é tal que Solução:  questão muito interessante de geometria plana, mas que envolve a leitura e identificação de pontos estratégicos em um sólido em três dimensões.  Vamos marcar alguns pontos estratégicos na figura para facilitar a compreensão da solução. Para encontrarmos l1, l2 e l3 aplicaremos 3 vezes o Teorema de Pitágoras. Cálculo de l1 l1² = 3² + 4² l1 = 5 Cálculo de l2 l2² = 5² + 3² l2² = 25 + 9  l2 =  √ 34 Atente que √25 = 5 e √36 = 6, logo √34 dá um valor entre 5 e 6, mais perto de 6 do que de 5. Curiosidade: valor mais preciso, calculado no Excel é 5,830951895. Cálculo de l3 l3² = 5² + 4² l3² = 25 + 16 l3² = 41 l3 =  √ 41 Atente que √36 = 6 e ...

(UNICAMP 2019) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x² + y² - 4y +3 = 0 e a parábola de equação 3x² - y + 1 = 0. Essas duas curvas se interceptam em  a) um ponto. b) dois pontos. c) três pontos. d) quatro pontos. Solução:  questão de geometria analítica do Vestibular UNICAMP 2019 onde teremos que descobrir a quantidade de pontos de interseção.  A parábola é y = 3x² +1.  Vamos aplicar este valor de y na equação de circunferência. x² + y² - 4y +3 = 0 x² + (3x² +1)² - 4(3x² +1) +3 = 0 x² + (9x 4 + 6x² + 1) - 12x² -4 + 3 = 0 x² + 9x 4  + 6x² + 1 -12x² -1 = 0 9x 4  - 5x² = 0 x²(9x² - 5) = 0 x² = 0 x=0      ou         9x² - 5 = 0 9x² = 5 x² = 5/9 x = ± (√5)/3             Encontramos 3 valores de x, são eles, { - (√5)/3 , 0 , (√5)/3} ao aplicarmos esses valores de x na parábola y = 3x² +1 encontraremos para cada valor de x, um valor de y associado, sendo assim, existe...

(UNICAMP 2019) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑥 + 𝑏. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a −1, então 𝑝(1) é igual a a) 0. b) 1. c) 2. d) 3.  Solução:  questão muito interessante do Vestibular UNICAMP 2019 sobre polinômios de terceiro grau. Aplicando p(1) ao polinômio, temos: p(1) = 1³ + a.1² + 1 + b p(1) = 1 + a. + 1 + b p(1) = 2 + a + b Vamos encontrar a e b, ou então, (a+b) por meio das Relações de Girard para uma equação do terceiro grau. Seja p(x) =  a.x³ + b.x² + c.x + d  Sejam r1, r2 e r3 as suas raízes, então  r1+r2+r3 = -b/a r1.r2 + r1.r3 + r2.r3 = c/a r1.r2.r3 = -d/a Vamos precisar apenas das equações 1 e 3, e vamos considerar r1+r2 = -1  e  r1.r2 = -1 conforme enunciado. -1 + r3 = -a -1.r3 = -b r3 = -a + 1 r3 = b Igualando:  -a+1 = b a+b=1 Sendo p(1) = 2 + a + b p(1) = 2 + 1 p(1) = 3  [ Alternativa correta é a letra D ] Aproveite e conti...

(UNICAMP 2019) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, Se a soma dos elementos em cada linha da matriz 𝐴 tem sempre o mesmo valor, então o determinante de 𝐴 é igual a  a) 0. b) 2. c) 5. d) 10. Solução:   nesta questão sobre matrizes e seus determinantes do Vestibular UNICAMP 2019, precisaremos em primeiro lugar encontrar os valores de a e b , para finalmente calcular o determinante de A por meio do método de Sarrus. Vamos atribuir à soma de todas as linhas o valor x. 1+a+1 = x   [equação I] b+1+a = x   [equação II] 2+b+2 = x   [equação III] Igualando I e II (a+1) + 1 = (a+1) + b b=1 aplicando (b=1) em III 2 + 1 + 2 = x x = 5 aplicando (x=5) em I 1 + a + 1 = 5 a = 3 Repare que agora temos que calcular o determinante da matriz a seguir: Vamos calcular esse determinante usando a regra de Sarrus. detA = - ( 1.1.2 + 1.3.1 + 3.1.2 ) + (1.1.2 + 3.3.2 + 1.1.1) detA = - ( 2 + 3 + 6 ) + (2 + 18 + 1) detA ...

Caro estudante, Organizamos uma lista de exercícios resolvidos sobre Matrizes e Determinantes. Os exercícios são provenientes de questões de concursos militares e de vestibulares. Está preparado?  Então, bons estudos com nossa bateria de questões sobre Matrizes e Determinantes.  Tente resolver as questões e depois confira a resolução de cada questão comentada com gabarito. 1)  (CEDERJ 2020.2) O determinante é nulo para o seguinte valor de x: a) 1  b)  2  c)  -1  d) -2 Link para a solução desta questão 2)  (EsPCEx 2020) Sejam as matrizes: Se AB = C, então x+y+z é igual a  [A] -2. [B] -1. [C] 0. [D] 1. [E] 2. Link para a solução desta questão 3)  (ENEM 2019)  Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro questões de múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz. Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões acertadas p...

(UNICAMP 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. Se a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) é uma progressão geométrica de razão 𝑞 > 1, então tan 𝜃 é igual a Solução:  questão muito interessante que envolve conceitos ligados à progressão geométrica e também relações trigonométricas em um triângulo retângulo .  Repare na figura a seguir que o valor de tangente de θ pode ser obtido por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo abaixo. Uma informação do enunciado é que {a ; b ; c ; d} nesta ordem formam uma PG de razão q. Sendo assim, a PG é do tipo { a ; a.q ; a.q² ; a.q³ } Aplicando à fórmula: tg θ = [a.q² - a] / [a.q³ - a.q] tg θ = [a.(q² - 1)] / [a.q.(q² - 1)] Simplificando: tg θ = [ a . (q² - 1) ] / [ a .q. (q² - 1) ] tg θ = 1 / q  (Alternativa correta é a letra A) Aproveite e confira mais questões sobre estes dois temas: >>  Exercícios sobre Progr...

(UNICAMP 2019) No triângulo 𝐴𝐵𝐶 exibido na figura a seguir, 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐴𝐵, e 𝑁 é o ponto médio do lado 𝐴𝐶. Se a área do triângulo 𝑀𝐵𝑁 é igual a 𝑡, então a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a Solução:  questão de geometria plana do vestibular UNICAMP 2019 sobre medianas e áreas de triângulos.    Em primeiro lugar, repare dentro do triângulo ABC que o segmento de reta BN é a mediana relativa ao lado AC.  Deste modo, ela divide este triângulo ABC em dois triângulos menores de áreas idênticas.       Área de BN C = Área de BN A Em segundo lugar, repare dentro do triângulo ABN que o segmento de reta NM é a mediana relativa ao lado AB.  Deste modo, ela divide este triângulo ABN em dois triângulos menores de áreas idênticas.       Área de NM A = Área de NM B Do enunciado, a Área de NMB = t ; Logo, a Área de NMA = t Se somarmos as áreas de NMA + NMB teremos a Área de BNA = 2t Como a Área de BNA =...