(EEAR CFS 1/2021) O ângulo cuja medida é 37π/4  rad pertence ao _____ quadrante.  a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Existem diferentes caminhos para resolver essa questão, vamos adotar como estratégia simplificar o ângulo 37π/4  rad. 37π/4 = (36π + π) / 4 = 36π/4 + π/4 = 9π + π/4 = 8π + π + π/4 Perceba que 8π equivalem a 4 voltas de 2π e terminamos exatamente sobre a origem do ciclo trigonométrico.   Ainda temos π + π/4.  Sabemos que π = 180° e π/4 = 180°/4 = 45°.  Logo π + π/4 = 180° + 45° = 225° ,  ângulo este, que no ciclo trigonométrico está no 3° quadrante.   Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 1/2021) A figura representa a parte móvel de um catavento (4 hélices triangulares planas). Se o material utilizado para a confecção dessas hélices custa R$ 300,00 o m 2 , e considerando √2 = 1,4 , o custo dessas peças, em R$, foi de a) 280 b) 340 c) 420 d) 560 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Uma questão muito interessante sobre geometria plana com aplicação prática da matemática, onde calcularemos a área do triângulo utilizando a fórmula a seguir: Área = (lado1) x (lado2) x (seno do ângulo entre esses dois lados) x (1/2) Repare que a área total é formada por 4 triângulos iguais.  Nestes triângulos, conhecemos dois de seus lados, que valem 1m, e também o ângulo entre esses dois lados que vale 45°, com isso podemos aplicar a fórmula.   Área do triângulo = (1) x (1) x (sen 45°) x (1/2) Sabemos, das relações trigonométricas , que o seno ...

(EEAR CFS 1/2021) Seja a função real f(x) = x + 4. Se h é uma função polinomial de 1º grau que passa pelos pontos ( 0, f(0) ) e ( 3, f(−4) ), então o coeficiente angular de h é a) -4/3 b) -3/4 c) 4/3 d) 3/4 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Primeiramente, vamos encontrar f(0) e f(-4). f(0) = 0 + 4    e   f(-4) = -4 + 4 f(0) = 4                 f(-4) = 0 Os pontos ( 0, f(0)) e ( 3, f(−4) ) equivalem a  (0, 4) e (3, 0).  Como h é uma função polinomial do 1° grau passando por estes dois pontos, então podemos calcular seu coeficiente angular m usando a fórmula: m = Δy/Δx  m = (y2-y1)/(x2-x1) m = (0-4)/(3-0) m = -4/3   Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 1/2021) Uma circunferência de 5 cm de raio possui duas cordas AB = 6 cm e BC = x cm. Se AB é perpendicular a BC , então x é igual a  a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Questão interessante que aborda as relações métricas na circunferência . Repare na ilustração a seguir que as cordas AB e BC formarão um triângulo retângulo com uma terceira corda AC.  Sabemos das relações métricas na circunferência que quando um triângulo retângulo está inscrito em uma circunferência, então a hipotenusa deste triângulo é o diâmetro da circunferência.  Sendo assim, AC é igual ao diâmetro (2 vezes o raio) que é igual a 10cm. Finalmente, para encontrar x podemos usar o Teorema de Pitágoras, mas antes dos cálculos, repare que estamos diante de um triângulo com medidas proporcionais a 3-4-5.  Perceba: 6 = 3 x 2 x = 4 x 2 10 = 5 x 2 Send...

(EEAR CFS 1/2021)  Se x = 2/3 é a raiz da função dada por f(x) = mx + 2, sendo m real, então a lei que define f é  a) (3/2).x + 2 b) (2/3).x + 2 c) -3x + 2 d) 3x + 2 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Se x = 2/3 é raiz de f(x), então f(2/3) = 0. f(2/3) = m . (2/3) + 2 = 0 (2/3) . m  = -2 m = -2 . (3/2) m = -3 Logo,  f(x) = -3x + 2   Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 1/2021)  Em um grupo de jovens, 25 praticam futebol, 20 praticam vôlei, 5 praticam futebol e vôlei e 10 não praticam nenhum esporte. Ao selecionar, aleatoriamente, um jovem desse grupo, a probabilidade dele praticar apenas futebol é  a) 0,6 b) 0,5 c) 0,4 d) 0,3 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Para resolver essa questão que envolve probabilidade e teoria dos conjuntos, vamos elaborar um diagrama de Venn. A probabilidade (P) é dada pela divisão da quantidade de elementos do conjunto evento esperado (E) pela quantidade de elementos do conjunto universo (U), também conhecido como espaço amostral. E = quantidade de jovens que praticam apenas futebol = 20 U = quantidade de jovens no grupo inteiro = 50 P = E/U P = 20/50 P = 0,4   Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR...

(EEAR CFS 1/2021) O número complexo z = 2 + 3i é uma raiz do polinômio p(x) = x 3 − 5x 2 + 17x − 13. Sendo assim, é correto afirmar que p(x) possui  a) outras 2 raízes não reais. b) apenas 1 raiz não real. c) 2 raízes reais. d) 1 raiz real. Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Da teoria de equações polinomiais, sabemos que quando um número complexo da forma z = a + bi é raiz de um polinômio, então o conjugado de z, ou seja,  z = a - bi também será raiz do polinômio. O polinômio é de grau 3, então possui 3 raízes.  Já conhecemos (2 + 3i) e (2 - 3i), então a terceira raiz não pode ser complexa, uma vez que elas aparecem aos pares, e portanto só pode ser uma raiz real.   Até aqui, já sabemos que o conjunto das raízes de p(x) é dado por { 2 + 3i  ;  2 - 3i ; "uma raiz real ainda não conhecida" }.  Mesmo sem saber qual é essa ...

(EEAR CFS 1/2021) Os pontos A(2, 2), B(5, 6) e C(8, 1) são os vértices de um triângulo; os pontos D e E são pontos médios, respectivamente, de BC e AC , e o ponto G é a intersecção de AD e BE.  Assim, as coordenadas de G são  a) (5, 3) b) (5, 2) c) (6, 3) d) (6, 4) Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Perceba na ilustração a seguir que os segmentos AD e BE são medianas deste triângulo e se interceptam no ponto G, que é o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo ABC. Sejam A, B e C os três vértices de um triângulo, respectivamente com coordenadas (Xa, Ya), (Xb, Yb) e (Xc, Yc), então as coordenadas G = (Xg, Yg) de seu baricentro serão: G = ( Xa + Xb + Xc   ,    Ya + Yb + Yc )                          3                ...

(EEAR CFS 1/2021) A diferença entre as medidas de um ângulo interno de um dodecágono regular e de um ângulo interno de um octógono também regular é  a) 15° b) 25° c) 30° d) 40° Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Os polígonos regulares são convexos e possuem todos os seus lados iguais e ângulos internos (e externos) também iguais. Da geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo de (n) lados é dada por Si = (n-2).180º .  Precisamos saber também que dodecágono tem 12 lados e octógono tem 8 lados. De posse dessas informações, vamos calcular o valor dos ângulos internos de cada polígono. >> dodecágono regular   (n=12) Si = (12 -2) . 180° Si = 1800° Agora, nós dividimos 1800° por 12 e temos como resultado 150° .   Concluímos assim que cada ângulo interno de um dodecágono regular mede 150°. >...

(EEAR CFS 1/2021) Seja a inequação |−2x + 6| ≤ 4, no conjunto dos números reais. A quantidade de números inteiros contidos em seu conjunto solução é ____.  a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Resolvendo a inequação modular  |−2x + 6| ≤ 4 , temos: -4 ≤  −2x + 6 ≤ 4 -4 ≤  −2x + 6    e    −2x + 6 ≤ 4 2x ≤ 10                    -2x ≤ -2 x ≤ 5                            2x ≥ 2                                        x ≥ 1 O conjunto solução é { x ∈  R | 1 ≤ x ≤ 5 }.  Os números inteiros contidos neste conjunto são {1, 2, 3, 4 e 5}, ou seja, são 5 números inteiros.  ...

(EEAR CFS 1/2021) Do conjunto de dados ordenados: 3 ; 5 ; 7 ; 10 ; x ; 14 ; y ; 26, sabe-se que a média e o valor mediano são iguais a 12. Assim, x + y é igual a  a) 28 b) 30 c) 31 d) 33 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. O conjunto de dados ordenados possui 8 elementos, como a quantidade de elementos é par, então pegaremos os dois elementos centrais que dividem essa série ao meio: { 3 ; 5 ; 7 ; 10 ; x ; 14 ; y ; 26 } Mediana = (10 + x)/2  =  12 10+x = 24 x = 14 Atualizando os dados com o valor de x, temos: { 3 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 14 ; y ; 26 } Sabemos que a média desse conjunto vale 12, sendo assim: 12 = 3 + 5 + 7 + 10 + 14 + 14 + y + 26                                  8 96 = 79 + y y = 17 Finalmente, x + y é igual a 14 + 17 = 31.  ...

(EEAR CFS 1/2021) Um poliedro convexo de 32 arestas tem apenas 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Dessa forma, o valor de x é  a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Arestas = (8 . 3 + x . 4) /2 32 = (24 + 4x)/2 64 = 24 + 4x 4x = 40 x = 10    Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 2/2021)  O valor da tg 1665º é:  a) 0 b) 1 c) √3 d) -√3 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para calcular a tangente de 1665º, vamos dividir 1665° por 360°, teremos como resultado quociente igual a 4 e resto igual a 225°.  Ou seja,  1665° = 4 x 360° + 225° Sendo assim, sabemos que tg (1665°) = tg (225°) Sabemos que 225° é do 3° quadrante, logo tg (225°) = tg (225° - 180°) tg (225°) = tg (45°) Finalmente, temos que  tg (1665°) = tg (225°) = tg (45°) = 1.   Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 2/2021) Um poliedro convexo possui 20 faces, das quais 7 são pentagonais e 13 triangulares. Dessa forma, é correto afirmar que  a) o número de arestas é 39. b) o número de arestas é 74. c) o número de vértices é 19. d) o número de vértices é 23. Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação de Euler para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V) por meio da fórmula: V + F = A + 2 Do enunciado, temos que F = 20. Além disso, 7 faces são pentagonais e 13 são triangulares.  Logo temos que a quantidade de arestas vale: A = (7 x 5 + 13 x 3)/2 Atenção:  dividimos por 2, uma vez que as arestas estão sendo contadas duas vezes.  Basta pensar no exemplo do cubo, ele tem 6 faces quadradas, então são (6 x 4)/2 = 12 arestas.  O cubo tem 12 arestas e não 24...

(EEAR CFS 2/2021) A área do triângulo ABC, dado na figura, é: a) 1875   √3         2  b) 1670   √2           3 c)   25   √3         2 d)  50    √2        3 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. A área do triângulo ABC pode ser calculada por meio da fórmula:  A = (base x altura)/2 A = [ (50+y) . (x) ] /2 Podemos encontrar os valores de x e y usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo . tangente 60° = x/y √3 = x/y x = y√3 tangente 30° = x/(50+y) √3 / 3 = y√3 / (50+y) (50+y) √3 = 3y√3 (50+y) = 3y 50 = 2y y = 50/2 y = 25 Sabemos que x = y√3, então  x = 25√3. Com os valores de x e y, vamos encontrar a área de ABC A = [ (50+y) . (x) ] /2 A = [ (50+25) . (25√3) ] /2 A = [ (75) . (25√3) ] /2 A = (1875√3)/2...

(EEAR CFS 2/2021) Determine o valor de m de modo que uma das raízes da equação x² – 6x + (m+3) = 0 seja igual ao quíntuplo da outra:  a) m = 1 b) m = 2 c) m = 3 d) m = 4 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Questão interessante sobre equações do segundo grau, vamos resolvê-la usando as Relações de Girard : Soma das raízes = -b/a    Produto das raízes = c/a Vamos que considerar que uma das raízes vale k.  Como a outra raiz vale o quíntuplo, então vale 5k. Soma das raízes = k + 5k = 6k Produto das raízes = k . 5k = 5k² Soma das raízes = -b/a    6k = -(-6)/1 6k = 6 k = 1 Produto das raízes = c/a 5k² = (m+3)/1 5.1² = m+3 5 = m + 3 m = 2   Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 2/2021)  A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2;5) e B(4;-1) é:  a) 4x - 12 b) 3x - 11 c) -3x + 12 d) -3x + 11 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. A equação reduzida da reta tem o formato y = a.x +b  vamos encontrá-la por meio de um sistema de equações aplicando os pontos A e B nesta equação. >>> A (2;5)  →     5 = a.2 + b   >>> B(4;-1) →    -1 = a.4 + b   Agora, temos que encontrar a e b no sistema a seguir: 2a + b = 5     (Equação I) 4a + b = -1    (Equação II) Vamos multiplicar a Equação I por (-2) e somar com a Equação II. -2 . 2a - 2 . b = -2.5     (Equação I sendo multiplicada por -2) -4a -2b = -10 Agora, vamos somar com a Equação II -4a + 4a -2b + b = -10 + (-1) -b = -11 b = 11 Agora, vamos encontrar o val...

(EEAR CFS 2/2021) Dado o complexo z = (cos 45° + isen45°), determine 1/z 10 :  a) i b) -i c) 1 d) -1 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Nesta questão trabalharemos com a forma trigonométrica do número complexo e utilizaremos a fórmula de Moivre para calcular z 10 . >> Forma trigonométrica ou polar do número complexo z = |z| (cosθ + i senθ) Como z = (cos 45° + isen45°) Então, |z| = 1 e  θ = 45° >> Fórmula de Moivre para potenciação do número complexo. z n   = |z| n (cos nθ + i sen nθ) z 10   = 1 10  (cos 10 . 45° + i sen 10.45°) z 10   = cos 450° + i sen 450° Dividindo 450° por 360° encontraremos quociente igual a 1 e resto igual a 90°, ou seja: 450° = 1 x 360° + 90° z 10   = cos 90° + i sen 90° z 10   = 0 + i . 1 z 10   = i Finalmente, nosso objetivo é calcular:  1/z 10 ...

(EEAR CFS 2/2021) Deseja-se guardar 1,5 litro de suco numa jarra cilíndrica de 15cm de altura e 5cm de raio da base. Desta forma (considerando π = 3), é correto afirmar que:  a) a quantidade total do suco é menor que a capacidade da jarra. b) o volume total da jarra representa 2/3 da quantidade total do suco. c) a quantidade total do suco representa metade da capacidade total da jarra. d) a capacidade total da jarra representa 75% da quantidade total do suco. Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para resolver essa questão de geometria espacial que também envolve porcentagem e conversão de unidades de medida, vamos primeiramente calcular o volume do cilindro. Vol = área da base x altura Vol = π x raio² x altura Vol = 3 x 5² x 15 cm³ Vol = 25 x 45 cm³ Vol = 1125 cm³ Deseja-se guardar 1,5 litro de suco nessa jarra, vamos converter litros para cm³, sabe...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com exercícios de trigonometria que envolvem a aplicação de identidades trigonométricas as quais são muito úteis para simplificar expressões trigonométricas, equações trigonométricas ou funções trigonométricas. As questões são provenientes de vestibulares, provas militares e concursos públicos para você que está se preparando para exames deste ano. Questões que envolvem identidades trigonométricas são muito comuns em provas de exatas onde o conteúdo trigonometria é parte do edital.  Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos as questões e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação para vestibulares e concursos nesta disciplina da matemática. Exercícios de Identidades Trigonométricas Exercício 1 -  (CEDERJ 2021.2)  Estudando para uma prova de trigonometria, Júlia aprendeu que  sen² 72° é igual a (A) 1 – cos² 72°.  (B) cos² 72° – 1.  (C) tg² 72° – 1.  (D) 1 ...

(EEAR CFS 2/2021) Dado tg(x) + cotg (x) = 5/2, determine sen 2x:  a) 2/5 b) 4/5 c) 3/7 d) 9/7 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Nesta questão, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas: tg(x) = sen(x)/cos(x) cotg(x) = 1/tg(x) = cos(x)/sen(x) Vamos aplicá-los na equação trigonométrica dada no enunciado: tg(x) + cotg (x) = 5/2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 5/2 [ sen²(x) + cos²(x) ] / sen(x) . cos(x) = 5/2 Da disciplina identidades trigonométricas, sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1 [1] / sen(x) . cos(x) = 5/2 5 . sen(x) . cos(x) = 2 sen(x) . cos(x) = 2/5 Vamos multiplicar os dois lados da equação por 2, uma vez que isto vai facilitar nosso trabalho, dado que sen(2x) = 2.sen(x) . cos(x) (2) .  sen(x) . cos(x) = (2)  .  2/5 2 . sen(x) . cos(x) = 4/5 sen(2x) = 4/5   Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue...

(EEAR CFS 2/2021) Em um grupo de 20 pessoas existem 10 engenheiros e 10 advogados. Quantas comissões de 5 pessoas é possível formar, se em cada uma deve haver 3 engenheiros e 2 advogados?  a) 1.500 b) 2.800 c) 4.000 d) 5.400 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para resolver essa questão de análise combinatória utilizaremos a fórmula de combinação.  Basta pensar no seguinte, uma dupla de advogados formada por João e José é a mesma dupla José e João.  Nestes casos, usamos a combinação: C n,p = n! / p!(n-p)! Vamos multiplicar as combinações de engenheiro C10,3 pelas combinações de advogados C10,2. C 10,3  x  C 10,2 [10! / (3!7!)] x [10! / (2!8!)] [10 . 9 . 8 / 3.2] x [10.9 / 2] [ 5 . 3 . 8 ] x [ 5 . 9 ] 120 x 45 5400   Alternativa correta é a letra d). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um...

(EEAR CFS 2/2021) Dados os polinômios P(x) = x² + ax - 3b e Q(x) = -x³ + 2ax - b, ambos divisíveis por (x-1), então a soma a+b é:  a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) 7/5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Nesta questão sobre polinômios, já que os dois são divisíveis por (x-1), então isto quer dizer que o resto da divisão deles por (x-1) é igual a 0.  Sendo assim, nós podemos dividir os dois polinômios por (x-1) e encontraremos valores para o resto, depois igualamos estes valores a 0 e isto nos fornecerá os valores de a e b .  Entretanto, vamos utilizar outra estratégia, vamos utilizar o teorema do resto. Quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax+b, temos que: P ( raiz do binômio ) = Resto da divisão de P(x) por ax+b Calculando a raiz de (x-1) x-1 = 0 x = 1 Como sabemos que o resto da divisão de P(x) e Q(x) por (x-1) é igual a zero, então: P(1) = 0...

(EEAR CFS 2/2021)  Seja X o valor de uma moto no ato da compra. A cada ano o valor dessa moto diminui 20% em relação ao seu valor do ano anterior. Dessa forma, o valor da moto no final do quinto ano, em relação ao seu valor de compra, será:  a) (0,8) 4 . X b) (0,8) 5 . X c) (2,4) . X 3 d) (3,2) . X 4 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Vamos resolver esse problema usando a fórmula do crescimento exponencial: a mesma fórmula que é utilizada no cálculo de juros compostos . VF = VI . (1 + i) n VF = Valor Final VI = Valor inicial = X i = taxa = -20% = -0,20 n = número de períodos = 4 Atente para o fato de que ao final do quinto ano, a moto só terá desvalorizado 4 vezes, a quinta desvalorização virá no início do 6° ano. Exemplo:  comprou em 01/01/2021  (1° ano é 2021) 1ª desvalorização = 01/01/2022  (2° ano é 2022) 2ª desvalorização = 01/...

Neste artigo, vamos ver uma aplicação prática de determinantes para o cálculo da área de um triângulo.  É um tipo de questão muito comum em geometria analítica onde as coordenadas dos vértices de um triângulo são fornecidas e a questão pede o cálculo da área. Cálculo da área de um triângulo com determinante   Vamos realizar esse cálculo com um exemplo usando o triângulo ABC, cujos vértices são A(0,0), B(3,0) e C(0,3).  A área de ABC = 1/2 x | D | .    D    = | x1  y1  1 |              | x2  y2  1 |              | x3  y3  1 | Usamos o módulo do determinante, pois o que nos interessa é o valor absoluto.    D    = | 0  0  1 |              | 3  0  1 |              | 0  3  1 | >> Podemos encontrar esse determinante p...

(EEAR CFS 2/2021) A área do triângulo de vértices A(1;2), B(-1;-2) e C(-2;-1) é: a) 3 b) 6 c) 20 d) 2/3 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para calcular a área do triângulo ABC basta aplicar a fórmula do cálculo da área de um triângulo por meio de determinante.   Área de ABC = 1/2 x | D | .  Usamos o módulo do determinante, pois este pode ser negativo, para o cálculo de área, o que nos interessa é o valor absoluto.  Onde D é igual ao determinante da matriz a seguir:  D    = | x1  y1  1 |              | x2  y2  1 |              | x3  y3  1 | Dados os vértices A(1;2), B(-1;-2) e C(-2;-1) , então a matriz D é a seguinte:  D    = | 1     2   1 |              | ...

(EEAR CFS 2/2021) Considere o complexo z = (1+i)/(1-i). O valor de z 1983 é:  a) -1 b) 0 c) i d) -i Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020.  Vamos resolvê-la passo a passo. Para efetuar a divisão entre dois números complexos, repetimos a fração e multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador.  O denominador é igual a (1-i) e seu conjugado vale (1+i).  z = (1+i) x (1+i)        (1-i)  x (1+i) z = 1² + 2i + i²         1² - i² z =  1 + 2i -1         1 - (-1) z =  2i        2 z = i O objetivo da questão é calcular z 1983  , ou seja, i 1983  . Perceba que: i 0 = 1 i¹ = i i² = -1 i³ = i².i¹ = -1.i = -i i 4   = i² . i² = -1 . -1  = 1 Se continuarmos calculando i 5 , i 6 e assim sucessivamente, ...

(EEAR CFS 2/2021) A figura dada apresenta três círculos concêntricos cujos raios (em cm) são números naturais pares e consecutivos. Dado que as áreas hachuradas são iguais, é verdade que a soma dos três raios é ____ cm. a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Questão interessante de geometria plana, onde calcularemos a área da coroa circular, área do círculo e utilizaremos uma equação do segundo grau.  Vamos ilustrar a figura com os raios, números naturais pares e consecutivos, como sendo R, R+2 e R + 4. Como A1 = A2, então temos que: π (R+4)² - π (R+2)² = π R² π [ (R+4)² - (R+2)² ] = π R² (R+4)² - (R+2)² = R² R² + 8 R + 16 - (R² + 4R + 4) = R² R² + 8 R + 16 - R² - 4R - 4 = R² 4R + 12 = R² R² - 4R - 12 = 0 Podemos obter as raízes dessa equação do 2° grau usando o Método de Bhaskara. Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 √Δ = √64...

(EEAR CFS 2/2021) A distância do ponto (2,-1) à reta r, de equação 2x - 3y + 19 = 0 é :  a) 22 b) 2√13 c) 30√5 d) (7/5)√3 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para resolver essa questão de geometria analítica , vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta . A fórmula da distância (d) de um ponto P (x o  , y o ) até a reta a.x + b.y + c = 0 d =  |  a . x o  + b . y o  + c   |                   √ (a² + b²)                 d = | 2.2 + (-3) . (-1) + 19 | / √ (2² + (-3)²) d = | 4 + 3 + 19 | / √ (4 + 9) d =  26/√13 Vamos racionalizar por √13/√13 d =  (26/√13) * (√13/√13) d = (26√13) / 13 d = 2√13  Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR....

(EEAR CFS 2/2021) Num triângulo ABC, se o ângulo do vértice A mede 70º, então o ângulo determinado em BÎC (I é o incentro do triângulo ABC) é:  a) 95º b) 110º c) 125º d) 135º Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para resolvermos essa questão sobre cevianas de um triângulo , vamos utilizar o conceito de incentro do triângulo, que é o ponto de encontro das bissetrizes.  A bissetriz é o segmento de reta que parte de um vértice de um triângulo "dividindo" este ângulo ao meio e alcança o lado oposto.  Repare na ilustração a seguir do triângulo ABC. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, então temos que: >>> soma dos ângulos internos do triângulo ABC 70° + 2b + 2c = 180° 2 . (b + c) = 180° - 70° b + c = 110°/2 b + c = 55° >>> soma dos ângulos internos do triângulo BIC b + c + x = 180° 55° + x = 180° x = 180° - 55° x...

(EEAR CFS 2/2021) Considere uma relação com quatro números inteiros (x1, x2, x3, x4). Sabe-se dessa relação que: a média é 8, a moda e a mediana são ambas, iguais a 9, e a diferença entre o maior e o menor dos números igual a 30. Então, é correto afirmar que:  a) x1 + x3 = 0 b) x2 - x1 = 17 c) x1 + x2 = 17 d) x3 + x4 = 32 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Questão interessante sobre estatística básica que envolve os conceitos de média, moda e mediana . Vamos considerar x1, x2, x3, x4 em ordem crescente, sendo assim: >> Média = 8 (x1 + x2 + x3 + x4) / 4 = 8    (x1 + x2 + x3 + x4) = 32 >> Mediana = 9 Como a quantidade de elementos é par, teremos dois elementos centrais dividindo a série de dados ordenada em dois grupos.  Para encontrar a mediana, nós somamos esses dois elementos e dividimos por 2. (x2 + x3) / 2 = 9    x2 + ...

(EEAR CFS 1/2022) A revolução de um triângulo equilátero, de 6 cm de lado, em torno de um de seus lados, gera um sólido de volume igual a ____________ π cm³.  a) 54 b) 48 c) 36 d) 24 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Antes de resolvermos essa questão, você precisa ter em mente que a altura de um triângulo equilátero vale (Lado x √3) /2 , logo a altura do triângulo equilátero desta questão vale 3√3. >> Caso necessário, veja aqui como calcular a altura e a área de um triângulo equilátero . Vamos esboçar o triângulo equilátero com suas medidas e o sentido da rotação: Repare que o resultado dessa rotação será um sólido formado pela soma de dois cones de volumes iguais.  Representamos esse sólido "partido ao meio" conforme a figura a seguir: Volume do Cone = (1/3) x (área da base) x (altura)  = (1/3) . π . (3√3)² . 3  = (1/3) . π . (9.3...

(EEAR CFS 1/2022) O gráfico mostra o consumo médio de gasolina, em km/L, dos veículos de uma revendedora de automóveis. Com base no gráfico, é correto afirmar que a quantidade de veículos da revendedora que percorrem 10 km ou mais com 1 litro de gasolina corresponde a _____ % do total de veículos da loja. (Considere que em cada classe o intervalo é fechado no limite inferior e aberto no limite superior). a) 56 b) 62 c) 68 d) 74 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Primeiramente, vamos somar a quantidade de veículos disponíveis nesta revendedora. Total = 6 + 8 + 10 + 12 + 14 Total = 50 Agora, vamos somar a quantidade de veículos que percorrem 10 km ou mais com 1 litro de gasolina, atente para o fato de que em cada classe o intervalo é fechado no limite inferior e aberto no limite superior, portanto a soma se inicia em  n.° de carros   |  consumo (c) e...

(EEAR CFS 1/2022) Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo, composto por dois círculos concêntricos divididos em 6 setores circulares de 60° cada. Se o raio do maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a área hachurada (em cinza) mede ______ π cm² . a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Questão bem interessante de geometria plana, repare que teremos que calcular a área do setor circular, o trabalho pode ser facilitado se tomarmos o caminho a seguir. Repare na figura que a área hachurada representa exatamente a metade da área de um círculo de raio 10cm. Área do círculo = π. R² = π . 10² = 100.π cm² Como queremos a metade disso, então a área hachurada vale 100π / 2 = 50π cm².   Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e...

(EEAR CFS 1/2022) O ponto P(1, 4) é _______________ à circunferência de equação (x + 1)² + (y − 5)² = 9 e é _______________ à circunferência de equação (x − 3)² + (y − 5)² = 16. a) exterior; exterior b) exterior; interior c) interior; exterior d) interior; interior Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Nesta questão de geometria analítica, referente a posição relativa entre ponto e circunferência , temos que analisar a distância entre dois pontos no plano cartesiano.  Precisamos verificar se a distância de P até o centro de cada circunferência é maior, menor ou igual ao comprimento dos respectivos raios.   Se a distância de P até o centro da circunferência é menor do que o raio da mesma, então este ponto P é interior à circunferência. Se a distância de P até o centro da circunferência é igual ao raio da mesma, então este ponto P é pertencente à circun...

(EEAR CFS 1/2022) Seja r a reta determinada por A (3, 5) e B (6, −1). O ponto de abscissa 8 pertencente à r possui ordenada igual a a) 9 b) 7 c) −6 d) −5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Na resolução desta questão de geometria analítica sobre equações de reta, vamos criar o ponto C = (8,y), ponto pertencente à reta r que passa por A e B.  Sendo assim, A, B e C são colineares. Podemos resolver essa questão de várias maneiras:  >> uma delas seria obter a reta que passa por A e B e aplicar x=8 nesta equação de reta. >> a segunda seria por meio do determinante de uma matriz que contém as coordenadas dos 3 pontos, confira neste link como verificar a condição de alinhamento de 3 pontos usando determinantes . >> um terceiro método, aquele que vamos utilizar agora, é calcular o coeficiente angular entre A e B  (mAB) e igualar com ...

(EEAR CFS 1/2022) Um cilindro circular reto de 5 cm de raio da base e de 10 cm de altura terá toda a sua superfície lateral revestida por uma fita de 0,5 cm de largura, como mostra a figura. Considerando π = 3,14 e que não haverá sobreposição de fita, será necessário uma quantidade mínima de ______ m de fita para realizar a tarefa. a) 4,62 b) 6,28 c) 8,44 d) 9,32 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Na resolução desta questão de geometria espacial , temos que fazer a planificação da superfície lateral do cilindro, repare na figura a seguir: Perceba que ao planificarmos a superfície lateral do cilindro, teremos um retângulo, cuja base vale o comprimento da circunferência da base do cilindro (C = 2πR = 2 . 3,14 . 5 = 31,4 cm ).  A altura do retângulo é igual a altura do cilindro ( H=10cm ). Como cada fita possui altura de 0,5 cm e temos que completar uma altura ...

(EEAR CFS 1/2022) Seja uma função f: A → B tal que A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = ℝ. A alternativa que apresenta todos os pontos de um possível gráfico de f é  a) (0, 0); (0, 1); (0, 2); (0, 3) e (0, 4) b) (0, 0); (1, 0); (2, 0); (3, 0) e (4, 0) c) (0, 0); (1, −1); (2, −2) e (3, −3) d) (0, 1); (2, 3); (4, 5) e (5, 6) Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Nesta questão, vamos utilizar a teoria da disciplina funções.   Em primeiro lugar, repare que A é o domínio da função e B é o seu contradomínio.   Temos que atentar para uma regra importante sobre noções de função: diferentes valores do domínio podem chegar a até um mesmo valor do contradomínio, entretanto não podemos ter um único valor do domínio apontando para mais de um valor no contradomínio. Dica: lembre-se da função f(x) = x²  , tanto x = - 1 quanto x = + 1 chegam em y = +1, são dois v...

(EEAR CFS 1/2022) Seja ABC um triângulo tal que  = 60°, conforme a figura. Assim, tem-se que FD = _____.  a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Questão muito interessante sobre a mediana do triângulo.  A mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o lado oposto exatamente no seu ponto médio.  Perceba que CD parte de C e alcança o lado AB exatamente em seu ponto médio D.  Simplificando, a mediana CD está "dividindo" o lado AB em dois segmentos iguais de comprimento igual a 6.  Perceba que BE também é uma mediana, pois também parte de um vértice (B) e "divide" o segmento oposto (AC) em dois segmentos iguais.  O ponto F é o baricentro deste triângulo, baricentro é o ponto de encontro das medianas. >> Você pode praticar mais sobre cevianas de um triângulo por aqui:  cevianas (m...

(EEAR CFS 1/2022) Dadas as retas r: 2x − 3y + 9 = 0, s: 8x − 12y + 7 = 0 e t: 3x + 2y − 1 = 0, pode-se afirmar, corretamente, que  a) r e t são paralelas b) r e s são coincidentes c) s e t são perpendiculares d) r e s são perpendiculares Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. As retas r, s e t estão na forma de equação geral da reta, vamos isolar o y em todas elas para trabalharmos com cada equação reduzida da reta: r: 2x − 3y + 9 = 0 - 3y = -2x -9  y = (2/3).x +3 s: 8x − 12y + 7 = 0 -12y = -8x -7 y = (2/3).x + 7/12 t: 3x + 2y − 1 = 0 2y = -3x + 1 y = (-3/2).x + 1/2 Duas retas são paralelas se elas possuem o mesmo coeficiente angular:  repare que r e s são paralelas .  Duas retas são coincidentes se possuem todos os pontos em comum: repare que não há retas coincidentes. Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angula...